Question

9．如图．在⊙O的内接△ACB中，∠ABC=30°，AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于D，若⊙O的半径OC=1，BD∥OC，求CD的长．

Answer 1

分析 作辅助线OB、CE构建正方形CEBO．根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切线的性质及平行线的性质求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根据圆的半径都相等知OB=OC，所以判定四边形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函数sin∠D=sin60°求CD的长度．

解答 解：连接OB．过点C作CE⊥BD于点E．

∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠ACO=∠OAC=60°（等边对等角）；
又∵BD∥OC，
∴∠ACO=∠D=60°（两直线平行，同位角相等），
∴∠OCD=120°（两直线平行，同旁内角互补）；
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥OC，OB⊥BD；
又∵OB=OC，
∴四边形CEBO是正方形，
∴CE=OB=1，
∴CD=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题综合考查了正方形的判定与性质、圆周角定理及切线的性质．解答该题时，借助于辅助线OB、CE构建正方形CEBO，然后由正方形的性质、直角三角形中的特殊角的三角函数值来求CD的长度．