Question

如图，是一块玻璃纸的一部分，它由11个边长为4

3

的正三角形按下列方式排列：它们各自有一条边依次在同一条直线上，而且沿着这条直线，每个三角形底边的中点恰为下一个三角形的顶点，则由这11个三角形所盖住的玻璃（平面的）区域的面积是

 

（答案可带根号）．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,三角形的面积

专题：规律型

分析：找到两个等边三角形的对应顶点，对应顶点之间的距离即为平移的距离，从前一三角形的顶点到后一三角形的顶点为平移的方向；经过观察可得11个三角形所盖住的平面区域的面积为11个三角形的面积-10个重叠部分的三角形的面积，根据相似可得重叠部分的面积等于原三角形面积的四分之一．

解答：解：将第一个等边三角形向右连续平移，每次平移的距离是边长的一半；
∴BC=FC=2

3

，
AB=4

3

，
∴AC=

AB2-BC2

=6，
DE=

CE2-CD2

=3，
∴相邻两个三角形相互重叠的面积是一个三角形面积为：

1

2

×2

3

×3=3

3

，
每个大三角形面积为：

1

2

×4

3

×h=

1

2

×4

3

×6=12

3

，
所以这11个三角形所盖住的平面区域的面积是：11×12

3

-3

3

×10=102

3

．
故答案为：102

3

．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及面积求法，用到的知识点为：平移的方向为前面的图形的对应顶点到后面图形的对应顶点，距离为两个对应顶点之间的距离．