Question

8．如图，E为正方形ABCD边AB上的一点，且AB=3，BE=1．将△CBE翻折得到△CB'E，连接并延长DB'与CE延长线相交于点F，连接AF，则AF的长为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作CH⊥B′D于H，连接AC，根据翻转变换的性质、等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质得到△AFC∽△HCD，证明△AFE∽△CBE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 证明：作CH⊥B′D于H，连接AC，
由翻折变换的性质得：∠BCE=∠B′CE，CB′=CD，CH⊥B′D，
∴∠B′CH=∠DCH，∠ECH=45°，∠ACF=∠DCH，
∴$\frac{FC}{HC}$=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{FC}{HC}$=$\frac{AC}{CD}$，又∠ACF=∠DCH，
∴△AFC∽△HCD，
∴∠AFC=∠DHC=90°，
∴∠AFC=∠CBE，又∠AEF=∠CEB，
∴△AFE∽△CBE，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AF}{3}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
解得，AF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．