Question

12．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD=BC．

Answer 1

分析 （1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（2，4）代入y=$\frac{m}{x}$中，得，m=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$，
将点B（a，1）代入y=$\frac{8}{x}$中，得，a=8，
∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5；
（2）∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
∴C（10，0），D（0，5），
如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴E（0，4），F（8，0），
∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC=$\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=BC．

点评 此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形．