Question

1．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b²-4ac＞0；②abc＞0；③m＞2．其中正确结论的个数是2个．

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；由ax²+bx+c-m=0没有实数根得到抛物线y=ax²+bx+c与直线y=m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对③进行判断．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵ax²+bx+c-m=0没有实数根，
即抛物线y=ax²+bx+c与直线y=m没有公共点，
而二次函数的最大值为2，
∴m＞2，所以③正确．
∴正确结论的个数是2个．
故答案为2．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．