Question

18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E为BC上一点，AE交CD于点F，EH⊥AB于点H，若CF=2FD，EH=$\sqrt{2}$，求CE•BE的值．

Answer 1

分析 要求两条线段的乘积，而题目当中只告诉了线段EH的长度，因此只需将两条线段分别用其它线段的式子表示出来，再代入相乘，化简转化为关于EH的式子．而进行线段关系的转化，必然需要几何等式，结合题设条件，本题可以列出的等式有相似三角形的线段比例等式（△ADC∽△EHB）、射影定理（实质上也是相似）、梅涅劳斯定理（直线AFE截△BDC），将相应的与CE、BE相关的等式列出进综合运算化简即可得解．

解答 解：对于△CBD和截线AFE，由梅涅劳斯定理可知：$\frac{CE}{EB}•\frac{BA}{AD}•\frac{DF}{FC}=1$，
∵CF=2FD，
∴$\frac{FD}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴$CE=2•\frac{AD}{AB}•BE$，
易知△ADC∽△EHB，
∴$\frac{BE}{AC}=\frac{EH}{AD}$，
∴$BE=\frac{EH}{AD}•AC$，
由射影定理可知AC²=AD•AB，
∴BE•CE=$（2•\frac{AD}{AB}•BE）•BE=2•\frac{AD}{AB}•B{E}^{2}$=$2•\frac{AD}{AB}•（\frac{EH}{AD}•AC）^{2}=2•\frac{AD}{AB}•\frac{E{H}^{2}}{A{D}^{2}}•A{C}^{2}$=$2•\frac{AD}{AB}•\frac{E{H}^{2}}{A{D}^{2}}•AD•AB=2E{H}^{2}$，
∵EH=$\sqrt{2}$，
∴BE•CE=4．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、射影定理、梅涅劳斯定理的应用．难度并不大，并不需要辅助线，只不过需要进行稍微复杂的线段运算化简．题目设计巧妙，是一道好题．