Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=

4

3

．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出kx+b＞

m

x

的解集；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）作AD⊥x轴于点D，根据正切的定义求得

AD

OD

=

4

3

，在直角△AOD中利用勾股定理求得AD、OD的长，则得到A的坐标，求得反比例函数的解析式；
（2）根据图象即可直接写出不等式的解集；
（3）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，则C的坐标即可求得，然后根据S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC求解．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于点D．
∵tan∠AOE=

AD

OD

=

4

3

，
∴设AD=4x，则OD=3x，
∵△AOD中，OA²=OD²+AD²，则25=16x²+9x²，
解得：x=1，
则AD=4，OD=3，
则A的坐标是（3，4）．
代入y=

k

x

得：k=12，
则反比例函数的解析式是：y=

12

x

；

（2）kx+b＞

m

x

的解集是：-6＜x＜0或x＞3；

（3）在y=

12

x

中，令x=-6，解得：y=n=-2，
则B的坐标是（-6，-2）．
根据题意得：

3k+b=4 -6k+b=-2

，
解得：

k= 2 3 b=2

，
则直线的解析式是：y=

2

3

x+2．
令y=0，解得：x=-3，6=
则C的坐标是（-3，0），即OC=3．
∴S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=

1

2

×3×2+

1

2

×3×4=3+6=9．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角函数的定义，正确根据勾股定理求得A的坐标是关键．