题目内容
如图，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上，G，F分别在AB，AC边上，BC=5cm，S△ABC=30cm2，AB为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形GDEF的最大面积．考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值
专题：几何图形问题,探究型
分析：根据三角形ABC的面积数值和BC的长，可求出△ABC的高AH的长，设GF=xcm，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出AM的长，即进而得到CD的长，根据矩形的面积公式可得到y和x的函数关系，利用函数的性质即可求出△ABC的内接长方形GDEF的最大面积．
解答：解：∵四边形GDEF是矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
=
，
∵BC=5cm，S△ABC=30cm2，
∴AH=12cm，
设GF=xcm，矩形面积为y，
∴
=
，
∴AM=
，
∴MH=AH-AM=12-
，
∴y=x（12-
）=-
x2+12x，
∴当x=2.5时，最大面积y=15．
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
| GF |
| BC |
| AM |
| AH |
∵BC=5cm，S△ABC=30cm2，
∴AH=12cm，
设GF=xcm，矩形面积为y，
∴
| x |
| 5 |
| AM |
| 12 |
∴AM=
| 12x |
| 5 |
∴MH=AH-AM=12-
| 12x |
| 5 |
∴y=x（12-
| 12x |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴当x=2.5时，最大面积y=15．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质以及二次函数的应用，要学会列函数关系式及求其最大值，难度适中．
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