Question

20．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求∠PBE的度数；
（2）若△PFD∽△BFP，求$\frac{AP}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）过E作EQ⊥AB交AB的延长线于Q，由旋转得到PD=PE，∠1=90°，由四边形ABCD是正方形，得到∠A=∠ABC=90°，AD=AB根据余角的性质得到∠2=∠4，根据全等三角形的性质得到EQ=AP，AD=AB=PQ，得到AP=EQ=BQ，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{PD}{BP}=\frac{PF}{BF}$，推出△APD∽△BFP，根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{BF}=\frac{PD}{FP}$，等量代换得到$\frac{PD}{BP}=\frac{PD}{AP}$，于是得到结论．

解答 解：（1）过E作EQ⊥AB交AB的延长线于Q，由旋转得到PD=PE，∠1=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠EQP=∠A=90°，
∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△PAD与△EQP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠4}\\{∠A=∠Q}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠5=45°，
∴∠PBE=180°-∠5=135°；

（2）∵△PFD∽△BFP，
∴$\frac{PD}{BP}=\frac{PF}{BF}$，
∵∠A=∠PBC，∠2=∠4，
∴△APD∽△BFP，
∴$\frac{AP}{BF}=\frac{PD}{FP}$，即$\frac{FP}{BF}=\frac{PD}{AP}$，
∴$\frac{PD}{BP}=\frac{PD}{AP}$，
∴AP=BP，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定、正方形的性质，证得△DAP≌△PGE是解题的关键．