Question

8．如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于点E，延长GO交AD于点F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据中点定义可得AC=2AO，然后求出AO=AB，AC=AG，再利用“边角边”证明△AOG和△ABC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠AOG=90°，再利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，然后求出四边形AECF为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明．

解答 解：四边形是菱形，
理由：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵BG=AB，AC=2AB，O为AC中点，
∴AO=CO=AB，AC=AG，
在△AOG和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠BAC=∠OAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△ABC（SAS），
∴∠ABC=∠AOG=90°，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟记各图形的性质与判定方法找出三角形全等的条件是解题的关键．