Question

2．若抛物线的顶点为点D（-1，4），点E（-2，n）在抛物线上，x轴，y轴上是否存在点P，Q，使四边形PQDE的周长最小？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先求得抛物线的解析式，然后可求得点E的坐标，接下来，作出点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，四边形的周长等于D′E′和ED的长度之和．

解答 解：存在．
理由：设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4，将x=1，y=0代入得：a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）²+4，
将x=-2代入得：n=3，
∴点E的坐标为（-2，3）．
作出点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，

∴点D′的坐标（1，4），点E′的坐标为（-2，-3）
连接D′E′交x、y轴与点P，Q．
根据两点之间的距离公式可知：D′E′=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+[4-（-3）]^{2}}$=$\sqrt{58}$，
DE=$\sqrt{[-1-（-2）]^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
由轴对称的性质可知：DQ=D′Q，EP=E′P，
∴四边形的周长=ED+EP+PQ+DQ=ED+E′P+PQ+QD′=$\sqrt{58}+\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点，轴对称的性质，两点间的距离公式的应用，由两点之间线段得出点D′、Q、P、E′在一条直线上时，四边形的周长有最小值是解题的关键．