Question

14．已知a、b、c均为实数，满足a+b+c=0，abc=54，则|a|+|b|+|c|的最小值是12．

Answer 1

分析 由a+b+c=0，abc=54，得到a，b，c中有两个负数，一个正数，不妨设a＜0，b＜0，c＞0，再由a+b=-c，ab=$\frac{54}{c}$，这样可以把a，b看作方程x²+cx+$\frac{54}{c}$=0，根据根的判别式得到△=c²-4•$\frac{54}{c}$≥0，解得c≥2，然后化简原式得到-a-b+c=2c，即可得到|a|+|b|+|c|的最小值．

解答 解：∵a+b+c=0，abc=54，
∴a，b，c中有两个负数，一个正数，
不妨设a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b=-c，ab=$\frac{54}{c}$，
∴可以把a，b看作方程x²+cx+$\frac{54}{c}$=0的解，
∴△=c²-4•$\frac{54}{c}$≥0，解得c≥6，
∴原式=-a-b+c=2c≥12，
即|a|+|b|+|c|的最小值为12．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则△≥0．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义．