Question

如图，对称轴为x＝3的抛物线y＝ax²＋2x与x轴相交于点B、O

(1)求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点B与O(0，0)关于x＝3对称， 　　∴点B坐标为(6，0)． 　　将点B坐标代入得： 　　36＋12＝0， 　　∴＝． 　　∴抛物线解析式为　　2分 　　当＝3时，， 　　∴顶点A坐标为(3，3)　　3分 　　(说明：可用对称轴为，求值，用顶点式求顶点A坐标．) 　　(2)设直线AB解析式为y＝kx＋B． 　　∵A(3，3)，B(6，0)， 　　∴　　解得，∴． 　　∵直线∥AB且过点O， 　　∴直线解析式为． 　　∵点是上一动点且横坐标为， 　　∴点坐标为()　　4分 　　当在第四象限时(t＞0)， 　　 　　＝12×6×3＋×6× 　　＝9＋3． 　　∵0＜S≤18， 　　∴0＜9＋3≤18， 　　∴－3＜≤3． 　　又＞0， 　　∴0＜≤3．5分 　　当在第二象限时(＜0)， 　　作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N则 　　 　　＝－3＋9． 　　∵0＜S≤18， 　　∴0＜－3＋9≤18， 　　∴－3≤＜3． 　　又＜0， 　　∴－3≤＜0．6分 　　∴t的取值范围是－3≤＜0或0＜≤3． 　　(3)存在，点坐标为(3，3)或(6，0)或(－3，－9)．9分 　(说明：点Q坐标答对一个给1分)