Question

（2013•泰安）如图，抛物线y=

1

2

x²+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．

解答：解：（1）把点C（0，-4），B（2，0）分别代入y=

1

2

x²+bx+c中，
得

c=-4 1 2 ×22+2b+c=0

，
解得

b=1 c=-4

∴该抛物线的解析式为y=

1

2

x²+x-4．

（2）令y=0，即

1

2

x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），S_△ABC=

1

2

AB•OC=12．
设P点坐标为（x，0），则PB=2-x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△BAC，
∴

S△PBE

S△ABC

=(

PB

AB

)2，即

S△PBE

12

=(

2-x

6

)2，
化简得：S_△PBE=

1

3

（2-x）²．
S_△PCE=S_△PCB-S_△PBE=

1

2

PB•OC-S_△PBE=

1

2

×（2-x）×4-

1

3

（2-x）²
=-

1

3

x2-

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（x+1）²+3
∴当x=-1时，S_△PCE的最大值为3．

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当DM=DO时，如答图①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（-2，-2）；
（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M点的坐标为（-1，-3）；
（III）当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为

2

2

×4=2

2

，即AC上的点与点O之间的最小距离为2

2

．
∵2

2

＞2，∴OD=OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．