Question

4．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；
点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），
（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；
（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；
（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出△PQC为等边三角形，进而表示出PC=4-x，CQ=2x，由4-x=2x，求出答案；
（2）根据题意得出CQ=$\frac{1}{2}$PC，即2x=$\frac{1}{2}$（4-x），求出即可；
（3）根据题意得出QH=DP，进而判断出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠C=60°，
∴当PC=CQ时，△PQC为等边三角形，
于是∠QPC=60°=∠B，
从而PQ∥AB，
∵PC=4-x，CQ=2x，
由4-x=2x，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴当x=$\frac{4}{3}$时，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$PC，
即2x=$\frac{1}{2}$（4-x），
解得：x=$\frac{4}{5}$；

（3）OQ=PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如图（3），
∵AD⊥BC，
∴∠QAH=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴QH=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$（2x-4）=x-2，
∵DP=BP-BD=x-2，
∴QH=DP，
在△OQH和△OPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QOH=∠POD}\\{∠QHO=∠PDO}\\{QH=PD}\end{array}\right.$，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ=OP．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．