已知二次函数y=12x2+32x-2的图象与y轴相交于点C.与x轴交于点A.B两点.其对称轴与x轴交于点D.连接AC．(1)点C的坐标为 .点A的坐标为 ,(2)抛物线上是否存在点E.使得△EOA为等边三角形?若存在.求出所有符合条件的点E的坐标,若不存在.请说明理由,(3)点P为x轴下方的抛物线上的一个动点.连接PA.PC.记△PAC的面积为S.问S取何值时.相应的点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知二次函数y=

x²+

x-2的图象与y轴相交于点C，与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点C的坐标为

，点A的坐标为

；
（2）抛物线上是否存在点E，使得△EOA为等边三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA，PC，记△PAC的面积为S，问S取何值时，相应的点P有且只有2个？

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0可得二次函数与y轴交点C的纵坐标，令y=0可得二次函数与x轴交点的横坐标；
（2）若在x轴下方的抛物线上存在一点E，使△EOA为等边三角形，先由OA=4，根据等边三角形的性质得出点E的坐标为（-2，-2

），再将x=-2代入y=

x²+

x-2，求出y的值，即可判断点E是否在抛物线上；
（3）过点B、点O分别作AC的平行线，记为l₁，l₂，与AC平行且与抛物线y=

x²+

x-2只有一个交点的直线记为l₃，设此唯一交点为T．利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-

x-2，直线l₃的解析式为y=-

x-4．设直线l₃与y轴的交点为H，直线l₂与抛物线在x轴下方的交点为N，则H（0，-4）．作CM⊥直线l₃于点M，得出△CMH∽△AOC，根据相似三角形对应边成比例得到

，求出CM=

，即直线l₃与AC之间的距离为

．由CH=CO=2，得出直线l₂与AC之间的距离也是

，根据三角形的面积公式求出S_△TAC=S_△NAC=

×2

=4，则S=4时，相应的点P有且只有2个，就是点T和点N．在直线l₂与直线l₃之间，S的值对应的点P有三个；在直线l₁与直线l₂之间，S的值对应的点P只有一个．

解答：解：（1）∵y=

x²+

x-2，
∴当x=0时，y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2）．
当y=0时，

x²+

x-2=0，
即：x²+3x-4=0，
解得x=-4和x=1，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（1，0）．
故答案为（0，-2），（-4，0）；

（2）若在x轴下方的抛物线上存在一点E，使△EOA为等边三角形，则因为OA=4，所以点E的坐标为（-2，-2

），
但当x=-2时，y=

×（-2）²+

×（-2）-2=-3≠-2

，所以点E不在抛物线上，
所以不存在符合要求的点E；

（3）过点B、点O分别作AC的平行线，记为l₁，l₂，与AC平行且与抛物线y=

x²+

x-2只有一个交点的直线记为l₃，设此唯一交点为T．

可求得直线AC的解析式为y=-

x-2，
直线l₃的解析式为y=-

x-4．
设直线l₃与y轴的交点为H，直线l₂与抛物线在x轴下方的交点为N，则H（0，-4）．
作CM⊥直线l₃于点M，则△CMH∽△AOC，
∴

，即

，CM=

，
∴直线l₃与AC之间的距离为

．
∵CH=CO=2，
∴直线l₂与AC之间的距离也是

，
∴S_△TAC=S_△NAC=

×2

=4，
∴S=4时，相应的点P有且只有2个，就是点T和点N．
在直线l₂与直线l₃之间，对于每一条与AC平行的直线l，在AC的另一侧，有且只有一条直线l′，使得l′∥AC∥l，且这三条平行线之间的距离相等，直线l与l′与抛物线共有三个交点，这三个点分别与AC构成的三角形面积相等，即此时S的值对应的点P有三个．
在直线l₁与直线l₂之间，平行于AC的直线与抛物线在x轴下方只有一个交点，所以此时S的值对应的点P只有一个．
故只有当S=4时，相应的点P有且只有2个．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求一次函数的解析式，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．理解题意、运用数形结合思想是解题的关键．