Question

7．如图，已知FG是∠EFC的角平分线，BG是∠ABC的角平分线，
（1）求证：∠BGF=$\frac{1}{2}$（∠AME+∠C）．
（2）若∠BAC=60°，∠FEC=80°，求∠BGF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件设∠MFN=∠AFN=x，∠MBG=∠EBG=y，∠AME=α，则∠FMN=∠BME=180°-α，在△BME中，根据外角的性质得到∠MEC=2y+180°-α，在△FEC中根据三角形的内角和得到∠C=180°-2x-（2y+180°-α），在△ABC中，根据三角形的内角和得到∠CAN=180°-2y-（α-2x-2y）=2x+180°-α，在△AFN中，根据外角的性质得到∠BNG═∠ANF=x+180°-α，在△BNG中根据三角形的内角和得到∠BGF=180°-y-（x+180°-α）=α-x-y，根据等式的性质即可得到结论；
（2）根据（1）的结论，代入数值即可求值．

解答 （1）证明：设∠MFN=∠AFN=x，∠MBG=∠EBG=y，∠AME=α，
则：∠FMN=∠BME=180°-α，
在△BME中，∠MEC=2y+180°-α，
在△FEC中，∠AFM=2x，∠MEC=2y+180°-α，
∴∠C=180°-2x-（2y+180°-α），
在△ABC中，∠MBE=2y，∠C=α-2x-2y，
∴∠CAN=180°-2y-（α-2x-2y）=2x+180°-α，
在△AFN中，∠AFN=x，
∴∠ANF=（2x+180°-α）-x=x+180°-α，
∴∠BNG=∠ANF=x+180°-α，
在△BNG中，∠NBG=y，∠BNG-x+180°-α，
∴∠BGF=180°-y-（x+180°-α）=α-x-y，
∴$\frac{1}{2}$（∠AME+∠C）=$\frac{1}{2}$（α+α-2x-2y）=α-x-y，
∴∠BGF=$\frac{1}{2}$（∠AME+∠C）；

（2）解：∵∠BGF=60°，∠FEC=80°，
∴60°-2x+2y=80°，
∴2y-2x=20°，
∴y-x=10°，
在△BNG中，∠BGF=180°-y-（60°-x）=120°+x-y，=120°-（y-x）=120°-10°=110°，
即∠BGF=110°．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线性质，外角的性质，熟记各性质是解题的关键．