Question

小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿一条过点B的直线BH折叠，使点C落在直线AB上，还原后，再沿过点B的直线BE折叠，使点C落在BH上，还原后这样就可以求出67.5°角的正切值是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,解直角三角形

专题：

分析：根据矩形沿BH折叠，可得BCFH的形状，∠1与∠2的关系，根据沿过点B的直线BE折叠，使点C落在BH上，可得CE与HE的关系，∠3与∠CBE的关系，根据角的和差，可得∠EBG的度数，根据勾股定理，可得BH与BC的关系，根据三角形的面积相等，可得CE与BC的关系，根据正切函数，可得答案．

解答：解：如图

过E点作EG⊥BF，设BC=a，
矩形纸片ABCD沿一条过点B的直线BH折叠，使点C落在直线AB上，
∴∠1=∠2=45°，BCHF是正方形，
BH=

2

a．
再沿过点B的直线BE折叠，使点C落在BH上，
∴∠3=∠CBE=

1

2

∠2=22.5°，CE=HE．
由三角形面积的不同表示方法，得
S △BCH=

1

2

BC•CH=

1

2

a2，
S_△BCH=S_△BCE+S_△BEH=

1

2

a•CE+

1

2

×

2

a•CE，
CE=（

2

-1）a．
tan67.5°=tan∠EBG=

EG

BG

=

a

( 2 -1)a

=

2 +1

( 2 -1)( 2 +1)

=

2

+1，
故答案为：

2

+1．

点评：本题考查了翻折变换，折叠得到的图形是轴对称图形，对应的角相等，对应的边相等．