Question

4．如图①已知△ACB和△DCB为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．

（1）求证：AD=BE；
（2）将△DCE绕点C旋转得到图②，点A、D、E在同一直线上时，若CD=$\sqrt{2}$，BE=3，求AB的长；
（3）将△DCE绕点C顺时针旋转得到图③，若∠CBD=45°，AC=6，BD=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）如图①欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可．
（2）如图②中，设AE交BC于O．在Rt△CDE中，由∠DCE=90°，DC=CE=$\sqrt{2}$，推出DE=$\sqrt{2}$CD=2，由AD=BE=3，推出AE=5，在Rt△ABE中，由∠AEB=90°，AE=5，BE=3，根据AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$即可解决问题．
（3）如图③中，连接AD，首先证明∠ABD=90°，利用勾股定理求出线段AD，再证明△ACD≌△BCE推出BE=AD即可解决问题．

解答 （1）证明：如图①中，

∵△ACB和△DCB为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．

（2）解：如图②中，设AE交BC于O．

由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAO=∠EBO，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠BEO=∠ACO=90°，
在Rt△CDE中，∵∠DCE=90°，DC=CE=$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{2}$CD=2，
∵AD=BE=3，
∴AE=5，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AE=5，BE=3，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{34}$．

（3）解：如图③中，连接AD，

∵CA=CB=6，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AB=6$\sqrt{2}$，
∵∠CBD=45°，
∴∠ABD=90°，∵BD=3，AB=6$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=9，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
∴BE=9．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．