Question

4．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A
有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A
有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）根据角的平分线的定义以及三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）探究2结论：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A+∠OBC-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）探究3：结论∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由是：∵BO平分∠BDC，CO平分∠ECB，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB+∠A）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
又∵∠BOC=180°-（∠BOC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）拓展：结论∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．
理由是：∵BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB），
又∵∠ABC+∠DCB+∠A+∠D=360°，即∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（360°-∠A+∠D），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．

点评 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．