Question

19．已知抛物线l₁：y=a（x-1）²+2的顶点是M，它交x轴于A、B两点（点A在点B的右边），抛物线l₂与抛物线l₁关于原点对称，其顶点是N，交x轴于C、D两点（点C在点D的右边）．
（1）直接写出N点的坐标：（-1，-2）．
（2）若抛物线l₁经过原点，求a的值及D点的坐标．
（3）若A、B、C、D四点从右到左依次排列，且B、C两点是线段AD的三等分点，求a的值．
（4）在（3）的条件下，将抛物线l₁以每秒1个单位的速度向左平移，同时，抛物线l₂以每秒2个单位的速度向右平移，当B、C两点再次成为AD的三等分点时，移动停止．
①求移动时间．
②抛物线的移动停止后，有一条平行于y轴的直线l：x=m交抛物线l₁于点P，交抛物线l₂于点Q，当m为何值时，PQ的长度等于2？

Answer 1

分析 （1）根据两个抛物线的顶点关于原点对称，即可解决问题；
（2））因为抛物线l₁：y=a（x-1）²+2经过原点，可得a=-2，推出抛物线l₂的解析式为y=2（x+1）²-2，令y=0，2（x+1）²-2=0，解得x=0或-2，推出D（-2，0），C（0，0）；
（3）由题意可知A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，0），把B（$\frac{1}{2}$，0）代入y=a（x-1）²+2即可解决问题．
（4）①设t秒后，B、C两点再次成为AD的三等分点．列出方程即可解决问题．
②如图，由①可知，抛物线l₁：y=-8（x-$\frac{1}{2}$）²+2，抛物线l₂的解析式为y=8x²-2，由PQ=2，P[m，-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]，Q（m，8m²-2），推出|8m²-2-[-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]|=2，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线l₂与抛物线l₁关于原点对称，
∴抛物线l₂的顶点N与抛物线l₁关的顶点M（1，2）关于原点对称，
∴N（-1，-2）．
故答案为（-1，-2）；

（2）∵抛物线l₁：y=a（x-1）²+2经过原点，
∴0=a+2，
∴a=-2，
∴抛物线l₂的解析式为y=2（x+1）²-2，
令y=0，2（x+1）²-2=0，解得x=0或-2，
∴D（-2，0），C（0，0），
∴a=-2，D（-2，0）；

（3）∵A、B、C、D四点从右到做左依次排列，且B、C两点是线段AD的三等分点，
又∵抛物线的对称轴分别为x=-1和x=1，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，0），
把B（$\frac{1}{2}$，0）代入y=a（x-1）²+2得到a=-8，
∴a=-8．

（4）①设t秒后，B、C两点再次成为AD的三等分点．
由（2）可知，A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，0），
由题意：此时CA=$\frac{1}{3}$AD，即2-3t=$\frac{1}{3}$（3-3t），解得t=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$秒时，B、C两点再次成为AD的三等分点．

②如图，由①可知，抛物线l₁：y=-8（x-$\frac{1}{2}$）²+2，抛物线l₂的解析式为y=8x²-2，

∵PQ=2，P[m，-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]，Q（m，8m²-2），
∴|8m²-2-[-8（m-$\frac{1}{2}$）²+2]|=2，
解得m=0或$\frac{1}{2}$或$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、平移变换、中心对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．