Question

证明：在2¹-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1这n-1个数中，至少有一个数能被n整除（其中n为大于1的奇数）．

Answer 1

考点：抽屉原理,数的整除性

专题：证明题

分析：用数学归纳法来证明．从特殊到一般，当n=2，易得出成立，再假设n=k时成立，从而证明出n=k+1时也成立，结论得证．

解答：证明：用数学归纳法来证明．
（1）当n=2时成立．
（2）假设，当n=k时，成立．
（3）证明：当n=k+1时也成立． 
（31）2n-1个互不相同的整数中n个整数的和，有C（n，2n-1）种互不相同的可能性． 
（32）这C（n，2n-1）种互不相同的可能性，落在[0，（2n-1）•n]区间内．在这个区间内，不能被n整除的整数个数是（2n-1）•（n-1）个． 
（33）证明C（n，2n-1）＞（2n-1）•（n-1）． 
（34）原命题得证．

点评：本题考查了抽屉原理以及整除问题，是一道竞赛题目，难度较大．