Question

在△ABC中，AB=AC，直线DE分别交AC、AB于E、F，交CB延长线于D，求证：DB•DC+BF•CE=DF•DE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作∠2=∠C，EM∥AB交BC于点M，利用△DBN∽△DEC及△BNF∽△DME得出比例式相加求解即可．

解答：证明：如图，作∠2=∠C，EM∥AB交BC于点M，

∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠2，∠5=∠ABC=∠C，
∴EM=EC，
∵∠D=∠D，∠2=∠C，
∴△DBN∽△DEC，
∴DB•DC=DN•DE，
∵∠ABC=∠D+∠DFB，∠2=∠DFB+∠1，
∴∠1=∠D，
∵∠2=∠5，
∴∠3=∠4，
∴△BNF∽△DME，
∴

NF

EC

=

BF

DE

，即NF•DE=BF•CE，
∴DB•DC+BF•CE=DN•DE+NF•DE=DF•DE．
即DB•DC+BF•CE=DF•DE．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的判定与性质求出比例式求解．