Question

20．解下列各题：
（1）计算：sin²23°-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\sqrt{27}$-$\sqrt{（si{n}^{2}30°-tan45°）^{2}}$+sin²67°
（2）当x=4cos30°-（-1）⁰、y=2tan60°时，求（1-$\frac{2x}{x+y}$）÷$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{3x+3y}$+$\frac{{x}^{2}+xy}{{x}^{2}-{y}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先算平方，特殊角的三角函数值二次根式，再计算加减法即可求解；
（2）原式小括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再将除法变为乘法，约分后根据同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再把化简后x与y的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）sin²23°-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\sqrt{27}$-$\sqrt{（si{n}^{2}30°-tan45°）^{2}}$+sin²67°
=sin²23°+cos²23°-$\frac{1}{4}$+3$\sqrt{3}$-（1-$\frac{1}{4}$）
=1-$\frac{1}{4}$+3$\sqrt{3}$-1+$\frac{1}{4}$
=3$\sqrt{3}$；
（2）∵x=4cos30°-（-1）⁰=2$\sqrt{3}$-1，y=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴（1-$\frac{2x}{x+y}$）÷$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{3x+3y}$+$\frac{{x}^{2}+xy}{{x}^{2}-{y}^{2}}$
=$\frac{y-x}{x+y}$×$\frac{3（x+y）}{（x-y）^{2}}$+$\frac{x}{x-y}$
=-$\frac{3}{x-y}$+$\frac{x}{x-y}$
=$\frac{x-3}{x-y}$
=$\frac{2\sqrt{3}-1-3}{2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}}$
=4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．