Question

如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=120°，AD=BC，以CD为边向外作等边△CDE，连接AE，BE．求证：△ABE为等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：易证∠ECB=∠EDA，即可求证△EDA≌△ECB，可得EA=EB，∠AED=∠CEB，根据一个角为60°的等腰三角形为等边三角形即可解题．

解答：证明：在四边形ABCD中，∠ADC=360°-∠A-∠B-∠DCB=360°-120°-∠DCB=240°-∠DCB
则：∠EDA=360°-∠EDC-∠ADC=360°-60°-（240°-∠DCB）=60°+∠DCB
∵∠ECB=∠ECD+∠DCB=60°+∠DCB，
∴∠ECB=∠EDA，
在△ADE和△BCE中，

ED=EC ∠ECB=∠EDA AD=BC

，
∴△EDA≌△ECB（SAS），
∴EA=EB，∠AED=∠CEB，
∴∠AEB=∠AED+∠DEB=∠AED+（∠DEC-∠CEB）=∠DEC=60°，
∵EA=EB，∠AEB=60°
∴△AEB为等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△EDA≌△ECB是解题的关键．