Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E．若AB=1，AC=2，则AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到BC=$\sqrt{5}$，根据已知条件得到AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∵D是BC中点，
∴AD=DC，AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴∠C=∠DAC．
∵AE⊥AD，
∴∠EAB=∠DAC=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{AE}$$\frac{1}{2}$，
∴AE=2BE，
∴AE²=CE•BE=（$\sqrt{5}$+BE）•BE=4BE²，
∴BE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．