Question

1．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24$\sqrt{3}$；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECD为矩形，得到EC=AD，BE=BC-EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；
（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；
（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．

解答 解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，
∴四边形AECD为矩形，
∴EC=AD=8，BE=BC-EC=12-8=4，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，
∴AB=2BE=8，AE=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
则S_△BMC=$\frac{1}{2}$BC•AE=24$\sqrt{3}$；
故答案为：24$\sqrt{3}$；
（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，
∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，
∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，
∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，
∴BE=4，AE=BE•tan60°=4$\sqrt{3}$，
∴CC′=2CD=2AE=8$\sqrt{3}$，
∵BC=12，
∴BC′=$\sqrt{B{C}^{2}+CC{′}^{2}}$=4$\sqrt{21}$，
∴△BNC周长的最小值为4$\sqrt{21}$+12；
（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，
作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，
∵AD∥BC，
∴圆O与AD相切于点P，
∵PQ=DC=4$\sqrt{3}$＞6，
∴PQ＞BQ，
∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，
在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，
∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，
∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，
连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，
∵OB=OP=4$\sqrt{3}$-OQ，
在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ²+6²=（4$\sqrt{3}$-OQ）²，
解得：OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OB=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠BPC=cos∠BOQ=$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{1}{7}$，
则此时cos∠BPC的值为$\frac{1}{7}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．