Question

5．如图，M、N分别为△ABC中AB、BC边上的点，$\frac{AM}{BM}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{CN}{BN}$=$\frac{4}{5}$，MN与中线BD相交于点O，求$\frac{DO}{BO}$的值．

Answer 1

分析 如图，作AE∥NM，交BD的延长线于E，作CF∥NM交BD于F，设OB=a，OD=b．首先证明DE=DF，设DE=DF=m，由OM∥AE，得$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BO}{OE}$，得到$\frac{a}{b+m}$=$\frac{2}{3}$，即3a=2b+2m    ①由ON∥CF，得$\frac{OB}{OF}$=$\frac{BN}{NC}$，得$\frac{a}{b-m}$=$\frac{5}{4}$，即4a=5b-5m    ②，由①②消去m，即可解决问题．

解答 解：如图，作AE∥NM，交BD的延长线于E，作CF∥NM交BD于F，设OB=a，OD=b．

∵AE∥MN，CF∥MN，
∴AE∥CF，
∴∠DAE=∠DCF，
∵BD是中线，
∴AD=DC，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCF}\\{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，设DE=DF=m，
∵OM∥AE，
∴$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BO}{OE}$，
∴$\frac{a}{b+m}$=$\frac{2}{3}$，
∴3a=2b+2m    ①
∵ON∥CF，
∴$\frac{OB}{OF}$=$\frac{BN}{NC}$，
∴$\frac{a}{b-m}$=$\frac{5}{4}$，
∴4a=5b-5m    ②
①×5+②×2得，23a=20b，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{20}{23}$，
∴$\frac{DO}{OB}$=$\frac{23}{20}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用参数解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．