Question

6．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．

解答 解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，
∴OA⊥AP，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°．
∴OP=2OA，∠AOP=60°，
∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，
∵∠AOD=60°，AO=DO，
∴△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，
又∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=AD•cot30°=2$\sqrt{3}$，
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．