Question

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC²=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=2$\sqrt{2}$．
①求证：△AFD∽△ACB．
②求DF的长．

Answer 1

分析 （1）利用DC²=CE•CA，加上∠DCE=∠ACD可判断△CDE∽△CAD，则∠CDE=∠CAD，从而得到BC=CD；
（2）①利用圆周角定理和它的推论得到∠ACB=90°，∠ADF=∠ABC，则根据相似三角形的判定方法得到△AFD∽△ACB；
②连接OC，如图，根据垂径定理得到OC⊥BD，再证明OC∥AD，则△POC∽△PAD，利用相似比得到$\frac{OC}{AD}$=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{2}{3}$，所以$\frac{AB}{AD}$=$\frac{4}{3}$，然后由△AFD∽△ACB，利用相似比可计算出DF．

解答 （1）证明：∵DC²=CE•CA，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{CA}{CD}$，
而∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴∠CDE=∠CAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD；

（2）①证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而AF⊥CD，
∴∠F=90°，
∴∠F=∠ACB，
∵∠ADF=∠ABC，
∴△AFD∽△ACB；

②连接OC，如图，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴OC⊥BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∴OC∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{4}{3}$，
∵△AFD∽△ACB，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴DF=$\frac{3}{4}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理；灵活应用相似三角形的判定与性质．