题目内容

如图，点A是直线y=2x上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-m）2+h交直线y=2x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C（点A，E，F两两不重合）．
（1）若点A的横坐标为1，求点E的坐标．
（2）当点A运动到使EF与x轴平行时，求
AC
OF
的值．
（3）当点A在直线y=2x上运动时，是否存在使点F的位置最低的情形？如果存在，请求出此时点A的坐标及
AC
OF
 的值；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）把A点横坐标1坐标代入直线y=2x可求出纵坐标，进而可得到m和h的值，再联立抛物线和直线y=2x即可求出点E的坐标；
（2）当EF与x轴平行时，点E与点F关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质得到FC=CE，然后利用CA∥y轴怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性质即可得到
AC
OF
的值；
（3）当点A在直线y=2x上运动时，存在使点F的位置最低的情形，点F的纵坐标为m2+2m，当m=-1时，点F的位置最低，此时A点坐标为（-1，-2），所以抛物线解析式为y=（x+1）2-2．求得该抛物线与直线y=2x的另一个交点E的坐标为（1，2），进而可求出
AC
OF
 的值．
解答：解：（1）∵点A是直线y=2x上一动点，点A的横坐标为1，
∴A的纵坐标为2，
∵以A为顶点的抛物线y=（x-m）2+h，
∴y=（x-1）2+2，
∵抛物线交直线y=2x于另一点E，
∴
y=2x
y=(x-1)2+2
，
解得：
x=1
y=2
或
x=3
y=6
，
∴点E的坐标（3，6）；                                                     
（2）当EF∥x轴时，点E，F关于直线AC对称，
∴EC=CF．
∵CA∥y轴，
∴△ECA∽△EFO，
∴
AC
OF
=
EC
EF
=
1
2
；                                                       
（3）当点A在直线y=2x上运动时，存在使点F的位置最低的情形，
理由如下：
点F的纵坐标为m2+2m，当m=-1时，点F的位置最低，此时A点坐标为（-1，-2），
∵抛物线解析式为y=（x+1）2-2．
求得该抛物线与直线y=2x的另一个交点E的坐标为（1，2），
∴OA=OE，
∴
AC
OF
=
AE
OE
=2．
点评：本题考查的是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的平移、函数图象的交点坐标与其解析式的组成的方程组的解的关系及相似三角形的性质与判定，综合性比较强，对学生的能力要求比较高，平时加强训练．
练习册系列答案
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2
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a3-a2
÷（1-
1
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2
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2
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2
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．
下列运算，正确的是（　　）
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C、a6÷a2=a3
D、a3+a2=a5

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