Question

11．如图，已知四边形ABCD为正方形，过顶点A的直线交正方形ABCD边CD于点E．
（1）如图①，若∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M的直线PQ⊥AE，且PQ与AD，BC分别相交于点P，Q．求证：PQ=AE；
（2）如图②，若AE交CD于点E，DF⊥AE于F，点O为对角线AC的中点，在AE上截取AG=DF，连接OF，OG，那么△OFG是哪种特殊三角形，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）作PK⊥BC于K，如图①，利用正方形的性质得PK=AB=AD，再利用等角的余角相等得到∠QPK=∠MAP，则可根据“AAS”证明△ADE≌△PKQ，从而得到AE=PQ；
（2）连结BG，作直线OF交AB于M、交BG于H，交CD于N，如图②，先证明△ABG≌△DAF得到∠AGB=∠DFA=90°，∠ABG=∠DAF，再证明△BMH≌△DNF得到MH=FN，则OH=OF，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得OG=OF，于是可判断△OGF为等腰三角形．

解答 （1）证明：作PK⊥BC于K，如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴PK=AB=AD，
∵PQ⊥AE，
∴∠MAP+∠APM=90°，
而∠QPK+∠APM=90°，
∴∠QPK=∠MAP，
在△ADE和△PKQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠PKQ}\\{∠DAE=∠KPQ}\\{AD=PK}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△PKQ，
∴AE=PQ；
（2）解：△OGF为等腰三角形．理由如下：
连结BG，作直线OF交AB于M、交BG于H，交CD于N，如图②，
∵∠BAG+∠DAF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAG=∠ADF，
在△ABG和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAG=∠ADF}\\{AG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DAF，
∴∠AGB=∠DFA=90°，∠ABG=∠DAF，
∵∠DAF=∠FDE，
∴∠ABG=∠FDE，
∵点O为对角线AC的中点，
∴BM=DN，OM=ON，
∵AB∥CD，
∴∠BMH=∠DNF，
在△BMH和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBH=∠NDF}\\{BM=DN}\\{∠BMH=∠DNF}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△DNF，
∴MH=FN，
∴OH=OF，
∵△GHF为直角三角形，
∴OG=OF，
∴△OGF为等腰直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．添加辅助线是构造全等三角形是解决问题的关键．