Question

4．如图，AB是⊙O的直径，以AB为边作△ABC，使得AC=AB，BC交⊙O于点D，联结OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：OD∥AC；
（2）当AB=10，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）若要证明OD∥AC，则可转化为证明∠C=∠ODB即可；
（2）连接AD，首先利用已知条件可求出BD的长，再证明△ODE∽△AFE，利用相似三角形的性质，对应边的比值相等即可求出BE的长．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，

（2）连接AD，
∵AB为直径，
∴AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵AB=10，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=BD=AB•cos∠ABC=2$\sqrt{5}$，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
在Rt△CDF中，cosC=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CF=2．
∴AF=8．
∵OD∥AC，
∴△ODE∽△AFE，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{OD}{AF}$，
∴$\frac{OB+BE}{AB+BE}$=$\frac{OD}{AF}$，
∵OB=OA=OD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴BE=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和相似三角形的判定和性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．