Question

4．如图，△ABC中，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N．
求证：BM=CN．

Answer 1

分析 连DB、DC，根据角平分线性质得DM=DN；根据垂直平分线的性质得DB=DC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BM=CN．

解答 证明：连接BD，CD，如图，
∵O是BC的中点，DO⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），
∴BM=CN．

点评 本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．