Question

16．若抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{7}{12}$x+12或y=-$\frac{1}{12}$x²-$\frac{7}{12}$x+12．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出OC，接着再利用勾股定理计算出OA和OB，则可得到抛物线与x轴的交点坐标为（-9，0）、（16，0）或（-16，0）、（9，0），然后利用交点式分别求出两种情况的抛物线解析式．

解答 解：如图，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，
∴AB=$\sqrt{1{5}^{2}+2{0}^{2}}$=25，
∵$\frac{1}{2}$OC•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴OC=$\frac{15×20}{25}$=12，
∴OA=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴OB=25-9=16，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-9，0）、（16，0）或（-16，0）、（9，0），
当抛物线过点（-9，0）、（16，0）时，设抛物线解析式为y=a（x+9）（x-16），把C（0，12）代入得a•9•（-16）=12，解得a=-$\frac{1}{12}$，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$（x+9）（x-16），
即y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{7}{12}$x+12；
当抛物线过点（-16，0）、（9，0）时，设抛物线解析式为y=a（x+16）（x-9），把C（0，12）代入得a•16•（-9）=12，解得a=-$\frac{1}{12}$，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$（x+16）（x-9），
即y=-$\frac{1}{12}$x²-$\frac{7}{12}$x+12
综上所述，抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{7}{12}$x+12或y=-$\frac{1}{12}$x²-$\frac{7}{12}$x+12．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．