Question

数学活动--求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理

专题：

分析：（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出S△DCG=

1

2

×CG•DG=

1

2

×4×3=6；
（2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出AD=

1

2

AB=5，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式

AD

AC

=

DH

CB

，求出DH=

15

4

，即可求出S△DGH=

1

2

S△ADH=

1

2

×

1

2

×DH•AD=

1

4

×

15

4

×5=

75

16

．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DB=DA．
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点．
∴CG=

1

2

AC=

1

2

×8=4，DG=

1

2

BC=

1

2

×6=3．
∴S△DCG=

1

2

×CG•DG=

1

2

×4×3=6．
（2）如图2所示：
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD，
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，
∴点G为AH的中点；
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵D是AB中点，
∴AD=

1

2

AB=5，
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DH

CB

，
∴

5

8

=

DH

6

，
∴DH=

15

4

．
∴S△DGH=

1

2

S△ADH=

1

2

×

1

2

×DH•AD=

1

4

×

15

4

×5=

75

16

．

点评：本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算方法；本题难度较大，综合性强，培养学生综合运用定理进行推理论证和计算的能力．