Question

17．（1）如图（1），△ABC中，分别以AC、BC为边作等边△ACE，等边△BCD，连接AD、BE交于点P，猜想线段AD和BE之间的数量关系是AD=BE，∠BPD的度数为60°．（不必证明）
（2）如图（2），△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，BC=5，分别以AC、BC为边作等腰Rt△ACE，等腰Rt△BCD，使AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，连AD、BE，求BE的长．
（3）如图（3），△ABC中，AC=2，分别以AC、BC为边作Rt△ACE，Rt△BCD，使∠ACE=∠BCD=90°，∠AEC=∠CBD=30°，连接AD、BE、DE，若∠CAD=30°，DE=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=EC，CB=CD，∠ACE=∠BCD进而得出，△ACD≌△ECB（SAS），即可得出AD=BE，∠CAD=∠BE最后利用三角形的内角和即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出AD=BE，再判断出△ABD是直角三角形，最后用勾股定理即可求出BE，
（3）先判断出△ADE是直角三角形，求出AD，再判断出点A，B，D，C四点共圆，进而得出，点A在BE上，最后用相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵△ACE，△BCD都是等边三角形，
∴AC=CE，BC=CD，∠CAE=∠AEC=∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠BCE=∠DCA，
在△ACD和△ECB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠BEC，
∵∠BEC+∠AEB=∠AEC=60°，
∴∠CAD+∠AEB=60°，
∠DAE+∠AEB=∠CAD+∠CAE+∠AEB=（∠CAD+∠AEB）+∠CAE=60°+60°=120°，
∴∠APE=180°-（∠DAE+∠AEB）=60°，
故答案为：AD=BE，60°；

（2）∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△ECB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
∵等腰Rt△BCD，BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°，
在等腰Rt△BCD中，BC=5，
∴BD=5$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，AB=3，BD=5$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{59}$，
∴BE=$\sqrt{59}$；

（3）如图，在Rt△ACE中，AC=2，∠AEC=30°，
∴∠CAE=90°-∠AEC=60°，CE=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$，AE=2AC=4，
∵∠CAD=30°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=90°，
在Rt△ADE中，AE=4，DE=5，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵∠CAD=∠CBD=30°，
∴点A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=180°，
∴点B，A，E在同一条直线上，
即：点A在BE上，如图1，
∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCA，
∵∠AEC=∠CAD=30°，
∴△BCE∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{BE}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
∴BE=3$\sqrt{3}$，

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形，等腰直角三角形的性质，直角三角形的判定，四点共圆，三点共线，勾股定理等多个知识点，判断出△ACD≌△ECB（SAS）是解本题的关键，得出点B，A，E在同一条直线上是解本题的难点，此题用到类比的数学思想，是一道很好的中考压轴题．