Question

20．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出P点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$即可得出k的值，再将A、P两点的坐标代入y=ax+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论；
（2）先求得y=2时，x=6，再根据菱形的判定即可求解．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-3，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=3，
∴P（3，4），B（3，0），
将P（3，4）代入反比例解析式得：k=12，即反比例解析式为y=$\frac{12}{x}$．
将A（-3，0）与P（3，4）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a+b=0}\\{3a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2；

（2）如图所示，
把y=2代入y=$\frac{12}{x}$中，得x=6，得D（6，2），
PB垂直且平分CD，
则四边形BCPD为菱形．
则点D（6，2）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中．