Question

对于正整数a和b，方程x^a+b+y=x^ay^b的所有正整数解是

 

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Answer 1

分析：先把原方程变形为y=x^a（y^b-x^b），得到x^a是y的约数，设y=x^au，同样能得到x^b是u的约数，设u=x^bv，变形得到1=v（xab-b+b2v^b-1-1），因此v是1的约数，必有v=1，所以xab-b+b2=2，从而得到x=2，ab-b+b²=1，即b（a-1+b）=1，可分别求出a=1，b=1，x=2，y=4．

解答：解：方程变形为y=x^a（y^b-x^b），
∵x，y，a，b都是正整数，
∴x^a是y的约数，设y=x^au，
∴x^au=x^a（y^b-x^b），
∴u=x^abu^b-x^b=x^b（x^ab-bu^b-1），
∴x^b是u的约数，设u=x^bv，则有v=xab-b•xb2ub-1，v=xab-b+b2vb-1，
∴1=v（xab-b+b2v^b-1-1）
∴v是1的约数，必有v=1，所以xab-b+b2=2．
而x，y，a，b都是正整数，
∴x=2，ab-b+b²=1，即b（a-1+b）=1，
∴b=1，a-1+b=1，
∴a=1，
∴把a=1，b=1，x=2代入原方程解得y=4．
所以原方程仅当a=b=1时，有一组正整数解x=2，y=4．
故答案为：x=2，y=4．

点评：本题考查了方程的整数解得问题：利用整数的整除性质和整数指数的性质解决问题．