Question

1．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中：
①△ADE≌△BDE，
②DE垂直平分AB，
③△ADC是等边三角形，
④AE垂直平分CD，
⑤BE=2EC，
⑥AB=4CE；
正确的结论有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 ①根据折叠的性质即可得出结论；
②根据△ADE≌△BDE可知∠ADE=∠BDE=90°，AE=BE，进而可得出结论；
③由∠B=30°可知∠BAC=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB，故可得出结论；
④由△ADE≌△BDE，∠B=30°可得出∠DAE=30°，再由△ACD是等边三角形即可得出结论；
⑤由∠DAE=30°可知AE是∠BAC的平分线，故DE=CE，再由∠B=30°可得出DE=$\frac{1}{2}$BE，故可得出结论；
⑥根据锐角三角函数的定义可得出结论．

解答 解：①∵△ADE由△BDE翻折而成，
∴△ADE≌△BDE，故本小题正确；
②∵△ADE≌△BDE，
∴∠ADE=∠BDE=90°，AE=BE，
∴DE垂直平分AB，故本小题正确；
③∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AC=AD，
∴△ADC是等边三角形，故本小题正确；
④∵△ADE≌△BDE，∠B=30°，
∴∠DAE=30°，
∴AD是∠BAC的平分线．
∵△ACD是等边三角形，
∴AE垂直平分CD，故本小题正确；
⑤∵AE是∠BAC的平分线，DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE=CE．
∵∠B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BE，
∴BE=2EC，故本小题正确；
⑥∵∠CAE=30°，
∴AC=$\frac{CE}{tan30°}$．
∵∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴AB=2×$\frac{CE}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$CE，故本小题错误．
故选C．

点评 本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．