Question

如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=72°，BC=4．求图中阴影部分的总周长和总面积（结果保留π）

Answer 1

考点：扇形面积的计算,弧长的计算

专题：

分析：先根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再由△OBD、△OCE是等腰三角形得出∠BDO+∠CEO的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD+∠COE的度数，再根据弧长公式和扇形的面积公式即可得出结论．

解答：解：∵△ABC中，∠A=72°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=108°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=108°，
∴∠BOD+∠COE=360°-（∠BDO+∠CEO）-（∠ABC+∠ACB）=360°-108°-108°=144°，
∵BC=4，
∴OB=OC=2，
∴l=

144π×2

180

=

8

5

π，
∴图中阴影部分的总周长=4×2+

8

5

π=8+

8

5

π，
∴S_阴影=

144π×22

360

=

8

5

π．

点评：本题考查了弧长公式和扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．