Question

6．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC的延长线于点E，BE=a，CE=c，DE=b，求证：关于x的一元二次方程x²-2bx+ac=0有两个相等的实根．

Answer 1

分析 连结AE，先证明△ABE∽△CAE，根据相似三角形对应边成比例得出b²=ac，则△=0，再根据判别式的意义即可证明．

解答 证明：连结AE，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠1+∠2=∠4，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠2=∠3，
∵∠B+∠3=∠4，
∴∠B=∠1，
∵∠AEB=∠CEA，
∴△ABE∽△CAE，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴AE²=EB•EC，
即DE²=BE•CE，b²=ac，
∴△=（-2b）²-4ac=0，
∴关于x的一元二次方程x²-2bx+ac=0有两个相等的实根．

点评 此题主要考查了根的判别式，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1是解题关键．