题目内容
如图，A为⊙O上一点，以A为圆心的⊙A交⊙O于B、C两点，⊙O的弦AD交公共弦BC于E点．（1）求证：AD平分∠BDC；
（2）求证：AC2=AE•AD．
分析：（1）连接AO，由相交弦定理就可以得出AO垂直平分BC，由垂径定理就可以得出
=
，从而得出∠ADB=∠ADC而得出结论；
（2）由（1）的结论可以得出∠ADC=∠ACE，从而得出△ACE∽△ADC，由相似三角形的性质就可以得出结论．
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| AB |
|
| AC |
（2）由（1）的结论可以得出∠ADC=∠ACE，从而得出△ACE∽△ADC，由相似三角形的性质就可以得出结论．
解答：（1）证明：连接AO交BC于点F，
∴AO⊥BC，CF=BF，
∴
=
，
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；
（2）证明：∵∠ADB=∠ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠DAC=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴
=
，
∴AC2=AE•AD．
∴AO⊥BC，CF=BF，
∴
|
| AB |
|
| AC |
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；
（2）证明：∵∠ADB=∠ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠DAC=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴
| AC |
| AD |
| AE |
| AC |
∴AC2=AE•AD．
点评：本题考查了相交弦定理的运用，垂径定理的运用，圆周角定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．
练习册系列答案
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已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．
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如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
如图，D为⊙O上一点，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（ ）
如图，E为BC上一点，AB∥DE，∠1=∠2，则AE与DC的位置关系是（ ）