Question

已知抛物线C₁：y₁=

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2

x²，将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C₂：y₂=

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2

（x-h）²，若2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：由于2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，求出抛物线与直线y=x的交点坐标即可：先把（2，2）代入y₂=

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2

（x-h）²求出h得到抛物线C₂：y₂=

1

2

（x-4）²，再解方程组得

y= 1 2 (x-4)2 y=x

得两函数图象的交点坐标为（2，2），（8，8），于是得到满足条件的m的最大值为8．

解答：解：把（2，2）代入y₂=

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2

（x-h）²得

1

2

（2-h）²=2，解得h=4或h=0（舍去），
抛物线C₁作向右平移4个单位得到抛物线C₂：y₂=

1

2

（x-4）²，
解方程组得

y= 1 2 (x-4)2 y=x

得

x=2 y=2

或

x=8 y=8

，
因为2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，
所以m的最大值为8．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．