Question

11．O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．

（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为互余，∠COF和∠DOE的数量关系为∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE_；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件和图形可知：∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；由射线OF平分∠AOE，∠AOC与∠DOE的数量关系，从而可以得到∠COF和∠DOE的数量关系；
（2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系；
（3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系．

解答 解：（1）∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，
∴∠AOC+∠DOE=90°，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOE-（90°-∠DOE）=$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）-90°+∠DOE=$\frac{1}{2}$∠DOE，
故答案为：互余，∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE；
（2）∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE；理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵∠COE=90°，
∴∠AOC=90°-∠AOE，
∴∠COF=∠AOC+∠AOF=90°-∠AOE+$\frac{1}{2}$∠AOE=90°-$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵∠AOE=180°-∠DOE，
∴∠COF=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）=$\frac{1}{2}$∠DOE，
即∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE；
（3）∠COF=180°-$\frac{1}{2}$∠DOE；理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠COF=∠COE+∠EOF=90°+$\frac{1}{2}$∠AOE=90°+$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）=180°-$\frac{1}{2}$∠DOE，
即∠COF=180°-$\frac{1}{2}$∠DOE．

点评 本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．