Question

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点E，连按OA、OD，OA交BD于点F．
（I）如图1，求证：∠BAC=∠OAD；
（2）如图2，当AC=CD肘，求证：AB=BF；
（3）如图3，在（2）的条件下，当BD=11，AF=2$\sqrt{5}$时．求OF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．只要证明CM∥BD，推出∠1=∠2，推出$\widehat{BC}$=$\widehat{DM}$，推出∠BAC=∠DAO．
（2）由∠BAC=∠DAO，推出∠BAF=∠CAD，由CA=CD，所以∠CAD=∠CDA，由∠1=∠B，∠B+∠BAF+∠AFB=180°，∠1+∠CAD+∠ADC=180°，推出∠BAF=∠ADC=∠CAD=∠BAF，即可证明．
（3）如图3中，连接OB、DM．设BA=BF=x，⊙O的半径为r．由△ABF∽△AOB，推出$\frac{AB}{OA}$=$\frac{AF}{AB}$，得x²=2$\sqrt{5}$r   ①，由△ABF∽△DMF，推出$\frac{AF}{DF}$=$\frac{BF}{FM}$，得x（11-x）=2$\sqrt{5}$（2r-2$\sqrt{5}$）     ②，由①②解方程组即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．

∵AM是直径，
∴∠ACM=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠ACM=90°，
∴CM∥BD，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DM}$，
∴∠BAC=∠DAO．

（2）证明：如图2中，

∵∠BAC=∠DAO，
∴∠BAF=∠CAD，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠1=∠B，∠B+∠BAF+∠AFB=180°，∠1+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠BAF=∠ADC=∠CAD=∠BAF，
∴BA=BF．

（3）解：如图3中，连接OB、DM．设BA=BF=x，⊙O的半径为r．

∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=∠BAF，
∴△ABF∽△AOB，
∴$\frac{AB}{OA}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴x²=2$\sqrt{5}$r   ①，
∵∠ABF=∠M，∠AFB=∠DFM，
∴△ABF∽△DMF，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{BF}{FM}$，
∴x（11-x）=2$\sqrt{5}$（2r-2$\sqrt{5}$）     ②，
由①②可得x=5，r=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴OF=r-AF=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$-2$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查圆的综合题、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组解决一个线段问题，属于中考压轴题．