题目内容
如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．
（1）当x=
EF时，求S△DPE：S△DBC的值；（2）当CQ=
CE时，求y与x之间的函数关系式；（3）①当CQ=
CE时，求y与x之间的函数关系式；②当CQ=
CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．
【答案】分析：（1）根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得S△DPE：S△DBC的值；
（2）（3）问的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k＞0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6k-x；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（（2）中①式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用．
解答：解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，x=
EF，
∴EF∥BC，且EF=
BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴
=
，
∴S△DPE：S△DBC=1：36；
（2）延长BQ交EF于K，
∵EK∥BC，
∴∠EKB=∠KBC，
又∵BQ为∠CBP的平分线，
∴∠PBK=∠KBC，
∴∠EKB=∠PBK，
∴PB=PK．
∵CQ=
CE，∴CQ=EQ，
易证△CQB≌△EQK，则BC=KE=6，
∴x+y=6，
∴y=6-x；
（3）当CQ=
CE时，k=2，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12-x；
当CQ=
CE（n为不小于2的常数）时，k=n-1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n-1）-x．
点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题第（2）（3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=
CE时，CQ=
CE时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ=
CE（n为不小于2的常数）时的一般情况．
（2）（3）问的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k＞0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6k-x；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（（2）中①式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用．
解答：解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，x=
EF，∴EF∥BC，且EF=
BC，∴△EDP∽△CDB，
∴
=，∴S△DPE：S△DBC=1：36；
（2）延长BQ交EF于K，∵EK∥BC，
∴∠EKB=∠KBC，
又∵BQ为∠CBP的平分线，
∴∠PBK=∠KBC，
∴∠EKB=∠PBK，
∴PB=PK．
∵CQ=
CE，∴CQ=EQ，易证△CQB≌△EQK，则BC=KE=6，
∴x+y=6，
∴y=6-x；
（3）当CQ=
CE时，k=2，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12-x；当CQ=
CE（n为不小于2的常数）时，k=n-1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n-1）-x．点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题第（2）（3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=
CE时，CQ=CE时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ=CE（n为不小于2的常数）时的一般情况． 
练习册系列答案
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