Question

18．已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$cm
• B． 3$\sqrt{5}$cm
• C． 9cm
• D． 6cm

Answer 1

分析 将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出蚂蚁爬行的最短路线及最短的路程．

解答 解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则：$\frac{nπr}{180}$=$\frac{1}{2}$×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=3$\sqrt{5}$cm，
故蚂蚁沿线段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了平面展开-最短路径问题，用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．