Question

12．△ABC中，P为△ABC内∠A的平分线上，过P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，连接PB、PC，使得∠BPC=120°
（1）如图1，∠A=60°，若PB=PC，证明：BD+CE=BC；
（2）如图2，∠A=60°，若PB≠PC，问上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由
（3）如图3，∠BAC=135°，D、E为线段BC上的两点，∠DAE=90°，且AD=AE．若BD=5，CE=2，请你直接写出线段DE=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△BDP≌△BFP，得出BD=BF，同理：△CPE≌△CPF，得出CE=CF，即可得出结论；
（2）同（1）得：△BDP≌△BFP，得出∠BPD=∠BPF，BD=BF，证出∠CPF=∠CPE，由AAS证明△CPF≌△CPE，得出CF=CE，即可得出结论；
（3）由三角形内角和定理和等腰直角三角形的性质得出∠ADB=∠CEA=135°，∠BAD=∠C，证出△ABD∽△CAE，得出对应边成比例求出∴$\frac{AD}{CE}=\frac{BD}{AE}$，即AD²=10，再由勾股定理求出DE的长即可．

解答 （1）证明：∵∠BPC=120°，PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=30°，
∵∠A=60°，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ABE=∠ACD=30°，∠BPD=∠CPE=60°，
过点P作PF⊥BC于F，如图1所示：
∴∠BPF=∠CPF=60°，
在△BDP和△BFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDP=∠BFP=90°}&{\;}\\{∠BPD=∠BPE=60°}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDP≌△BFP（AAS），
∴BD=BF，
同理：△CPE≌△CPF（ASA），
∴CE=CF，
∴BD+CE=BF+CF=BC，
（2）解：仍然成立，理由如下：作PF⊥BC于F，如图2所示：
同（1）得：△BDP≌△BFP，
∴∠BPD=∠BPF，BD=BF，
∵∠A=60°，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠DOE=120°，
∵∠BPC=120°，
∴∠BPD+∠CPE=120°，
∴∠CPF=∠CPE，
在△CPF和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFC=∠PEC=90°}&{\;}\\{∠CPF=∠CPE}&{\;}\\{PC=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△CPE（AAS），
∴CF=CE，
∵BF+CF=BC，
∴BD+CE=BC；
（3）解：∵∠BAC=135°，∠DAE=90°，且AD=AE，
∴∠B+∠C=45°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠ADB=∠CEA=135°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAE，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{BD}{AE}$，
即AD•AE=AD²=BD•CE=5×2=10，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．