Question

用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？
（参考公式：二次函数y=ax²+bx+c，当x=-

b

2a

时，y最大（小）值=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,二次函数的最值,二次函数的应用,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,平行四边形的判定与性质

专题：计算题

分析：过A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，得出平行四边形ADCF和等边三角形ABF，推出∠BAE=30°，求出BE、AE，推出AB=BF=CD=x，求出AD和BC的值（用x的代数式表示），根据梯形的面积公式求出即可得出y和x的关系式，根据二次函数的最值，求出顶点坐标即可求出答案．

解答：解：
过A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，
∵AD∥BC，AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴AB=AF，
∴三角形ABF是等边三角形，
∴AB=BF=AF=x，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

x，
由勾股定理得：AE=

3

2

x，
∵AD+DC+BC+AB=50，
∴x+x+x+2AD=50，
∴AD=

50-3x

2

，
BC=

50-3x

2

+x=

50-x

2

，
梯形ABCD的面积y=

1

2

（AD+BC）×AE=

1

2

×（

50-3x

2

+

50-x

2

）×

3

2

x，
即y=-

3

2

x²+

25 3

2

x，
∵a=-

3

2

＜0，
∴y有最大值，
当x=-

25 3 2

2×(- 3 2 )

=

25

2

时，y的最大值是：y=

4×(- 3 2 )×0-( 25 3 2 )2

4×(- 3 2 )

=

625 3

8

，
答：当x为

25

2

时，才能使y最大，最大面积y是

625 3

8

．

点评：本题综合考查了二次函数的最值，勾股定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，含30度角的直角三角形等知识点，能用x的代数式表示出AD、BC、AE的长是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．